Loi de réciprocité quadratique

Incontournable de l'arithmétique, la loi de réciprocité quadratique permet de calculer rapidement des symboles de Legendre faisant intervenir des nombres premiers impairs. Elle a de nombreuses preuves différentes, dont au moins 8 par Gauss lui-même.

Loi de réciprocité quadratique version 1

On démontre ici la loi de réciprocité quadratique en utilisant des résultants et des polynômes de Laurent (fractions rationnelles dont le seul pôle est 0). La référence utilisée est ce pdf : [1].

Recasage :

• 120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.
• 121 -- Nombres premiers. Applications.
• 123 -- Corps finis. Applications.
• 140 -- Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
• 142 -- Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
• 143 -- Résultant. Applications.
• 144 -- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Localisation des racines dans les cas réel et complexe.
• 152 -- Déterminant. Exemples et applications.

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Loi de réciprocité quadratique version 2

Recasage :

• 101 -- Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
• 103 -- Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupe quotient.
• 104 -- Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.
• 120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.
• 121 -- Nombres premiers. Applications.
• 123 -- Corps finis. Applications.
• 126 -- Exemples d'équations diophantiennes.
• 170 -- Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
• 190 -- Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Loi de réciprocité quadratique version 3

Cette approche cyclotomique fait partie de celles recommandées par Lionel Fourquaux car elle se généralise plus facilement. Elle est plus technique qu'élégante. On trouve cette preuve dans le Cours d'algèbre de Demazure.

Recasage :

• 120 -- Anneaux Z/nZ. Applications.
• 121 -- Nombres premiers. Applications.
• 123 -- Corps finis. Applications.
• 126 -- Exemples d'équations diophantiennes.
• 144 -- Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Localisation des racines dans les cas réel et complexe.