Exos classiques et autres démonstrations : Différence entre versions

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(Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage)
(Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage)
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Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>.
 
Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>.
 
soit <math>D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> telle que <math>A=Q^{-1}DQ</math>.
 
soit <math>D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> telle que <math>A=Q^{-1}DQ</math>.
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Soit <math>P</math> un polynôme tel que <math>P(\lambda_i) = e^{\lambda_i}</math> pour tout <math>i</math>.
 
Soit <math>P</math> un polynôme tel que <math>P(\lambda_i) = e^{\lambda_i}</math> pour tout <math>i</math>.
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Alors <math>P(A) = P(Q^{-1}DQ) = Q^{-1}P(D)Q = Q^{-1}\exp(D)Q = \exp(A)</math> !
 
Alors <math>P(A) = P(Q^{-1}DQ) = Q^{-1}P(D)Q = Q^{-1}\exp(D)Q = \exp(A)</math> !
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Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Version du 21 juin 2013 à 10:41

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit A\in {\mathcal  {M}}_{n}({\mathbb  {C}}). soit D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}) telle que A=Q^{{-1}}DQ.

Soit P un polynôme tel que P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}} pour tout i.

Alors P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A) !


Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎