Exos classiques et autres démonstrations

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Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

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Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit A\in {\mathcal  {M}}_{n}({\mathbb  {C}}). soit D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}) telle que A=Q^{{-1}}DQ.

Soit P un polynôme tel que P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}} pour tout i.

Alors P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A) !


Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

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Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

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Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

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Pseudo-réduction simultanée

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Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

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Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

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Analyse

Ind_{\gamma } est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

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L'espace de Schwartz sur {\mathbb  R} est stable par transformée de Fourier

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Lemme de Baire

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Lemme de Riemann-Lebesgue

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Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction f est limite uniforme d'une suite de polynômes (P_{n})_{{n\in {\mathbb  N}}}, alors f est un polynôme.

(P_{n})_{{n\in {\mathbb  N}}} est une suite de Cauchy donc il existe N\in {\mathbb  N} tel que pour tout n\geq N,\|P_{n}-P_{N}\|_{\infty }<1. Or P_{n}-P_{N} est un polynôme borné, donc est constant, on a P_{n}-P_{N}=c_{n}\in {\mathbb  C}. Or P_{n}-P_{N} converge vers f-P_{N} donc (c_{n})_{{n\in {\mathbb  N}}} converge vers une constante c=f-P_{N}. D'où f=P_{N}+c est un polynôme.


Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.

Théorème d'Ascoli

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Théorème d'inversion locale

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Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

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Théorème de représentation de Riesz

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Théorème des fonctions implicites

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