Voir la source de Exos classiques et autres démonstrations

= Algèbre =

== Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme ==

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Projecteurs.pdf|24px]] 
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Projecteurs.tex|24px]]

== Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage ==

Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>.
soit <math>D=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> telle que <math>A=Q^{-1}DQ</math>.

Soit <math>P</math> un polynôme tel que <math>P(\lambda_i) = e^{\lambda_i}</math> pour tout <math>i</math>.

Alors <math>P(A) = P(Q^{-1}DQ) = Q^{-1}P(D)Q = Q^{-1}\exp(D)Q = \exp(A)</math> !


Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

== Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Polsymetriques.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Polsymetriques.tex|24px]]

== Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Groupe_multiplicatif.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Groupe_multiplicatif.tex|24px]]

== Méthode de Gauss pour les formes quadratiques ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Méthode_de_Gauss.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Méthode_de_Gauss.tex|24px]]

== Pseudo-réduction simultanée ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Pseudored.pdf|24px]][[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Pseudored.tex|24px]]

== Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:RacinecarreeSn.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:RacinecarreeSn.tex|24px]]

== Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Diagocommut.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Diagocommut.tex|24px]]

= Analyse =

== Ind<math>_\gamma</math>  est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Indice.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Indice.tex|24px]]

== L'espace de Schwartz sur <math>\mathbb R</math> est stable par transformée de Fourier ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Schwartzstable.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Schwartzstable.tex|24px]]

== Lemme de Baire ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Baire.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Baire.tex|24px]]

== Lemme de Riemann-Lebesgue ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Riemann_Lebesgue.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Riemann_Lebesgue.tex|24px]]

== Limite uniforme de polynômes ==

Montrons que si une fonction <math>f</math> est limite uniforme d'une suite de polynômes <math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math>, alors <math>f</math> est un polynôme.

<math>(P_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une suite de Cauchy donc il existe <math>N\in\mathbb N</math> tel que pour tout <math>n\ge N,\|P_n-P_N\|_\infty<1</math>. Or <math>P_n-P_N</math> est un polynôme borné, donc est constant, on a <math>P_n-P_N=c_n\in\mathbb C</math>. Or <math>P_n-P_N</math> converge vers <math>f-P_N</math> donc <math>(c_n)_{n\in\mathbb N}</math> converge vers une constante <math>c=f-P_N</math>. D'où <math>f=P_N+c</math> est un polynôme.


Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.

== Théorème de Cauchy-Peano ==

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Cauchy_Peano.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Cauchy_Peano.tex|24px]]

== Théorème d'inversion locale ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Inversion_locale.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Inversion_locale.tex|24px]]

== Théorème de représentation de Riesz ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Repriesz.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Repriesz.tex|24px]]

== Théorème des fonctions implicites ==

[[Fichier:Pdf.png|alt=Pdf|link=Média:Fonctions_implicites.pdf|24px]]
[[Fichier:Tex.png|alt=Tex|link=Média:Fonctions_implicites.tex|24px]]