103 -- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications. : Différence entre versions

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Des exemples et applications en géométrie élémentaire sont nécessaires.
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La notion de produit semi-direct n’est plus au programme, mais lorsqu’elle est utilisée il faut savoir la
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définir proprement   
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En général le stabilisateur d'un élément n'est pas un sous-groupe distingué contrairement à ce qu'a pu entendre le jury.
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Les candidats parlent de groupes simples et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces no-
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tions. Il faudrait savoir par exemple que
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- tout morphisme de source un groupe simple est soit injectif soit trivial.
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- dans un groupe simple, toute réunion de classes de conjugaison non triviale engendre le groupe (par
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exemple les éléments de la forme x 2 y x).
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- tout morphisme d’un groupe G vers un groupe abélien se factorise via G ab := G/D(G).
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Il faut bien connaître le cas du groupe <math>\mathfrak{S}_4</math>, notamment <math>V_4 \rightarrow \mathfrak{A}_4 \rightarrow \mathfrak{S}_4</math> et faire le lien avec le tétraèdre.
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= Autre plan =
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Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :
 
Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :
  
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== I) Conjugaison et Groupe quotient ==
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=== I) Conjugaison et Groupe quotient ===
  
 
Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?
 
Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?
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3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)
 
3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)
  
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== II) Simplicité et résolubilité ==
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Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.
 
Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.
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Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")
 
Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")
  
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== III) Devissage de groupes ==
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=== III) Devissage de groupes ===
  
 
Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.
 
Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.
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[[Des illustrations pour les leçons de groupes]]
 
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Version actuelle en date du 28 août 2021 à 10:51

Plans

Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Pdf Plan scanné de l'année 2012-2013

Pdf Plan scanné de l'année 2013-2014

Pdf Plan scanné de l'année 2014-2015

Pdf Plan scanné de l'année 2015-2016

Pdf Plan scanné de l'année 2016-2017

Pdf Plan scanné de l'année 2017-2018

Pdf Plan scanné de l'année 2018-2019

Renommage : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Pdf Plan scanné de l'année 2019-2020 (leçon présentée avant la sortie du rapport et le renommage)

Pdf Plan scanné de l'année 2020-2021

Autre plan

Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :

I) Conjugaison et Groupe quotient

Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?

1- conjugaison et sous-groupes distingués (exemple des permutations de même profil)

2 - classe à gauche (permet de montrer Lagrange et Frobénius - F-G-N oraux X-ENS algèbre 1 p. 48)

3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)

II) Simplicité et résolubilité

Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.

Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")

III) Devissage de groupes

Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.

Théorème chinois et structure des abéliens de type fini. La caractérisation du produit direct(avoir deux sous-groupes distingués H, K avec HK=G et H\cap K={e}) amène la définition du produit semi-direct et sa caractérisation (idem mais K n'est pas distingué). Ceci permet de lister les groupes d'ordre 8 ou 12 (Delcourt p.99)


Développements


Divers

Des illustrations pour les leçons de groupes

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