103 -- Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

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Plans

Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Pdf Plan scanné de l'année 2012-2013

Pdf Plan scanné de l'année 2013-2014

Pdf Plan scanné de l'année 2014-2015

Pdf Plan scanné de l'année 2015-2016

Pdf Plan scanné de l'année 2016-2017

Pdf Plan scanné de l'année 2017-2018

Pdf Plan scanné de l'année 2018-2019

Renommage : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Pdf Plan scanné de l'année 2019-2020 (leçon présentée avant la sortie du rapport et le renommage)

Pdf Plan scanné de l'année 2020-2021

Autre plan

Le plan que Perrine et moi avons fait pour cette leçon :

I) Conjugaison et Groupe quotient

Naturellement mené par la question : à quelle condition un sous-groupe peut-il être noyau d'un morphisme ?

1- conjugaison et sous-groupes distingués (exemple des permutations de même profil)

2 - classe à gauche (permet de montrer Lagrange et Frobénius - F-G-N oraux X-ENS algèbre 1 p. 48)

3 - groupe quotient (factorisation de morphismes...)

II) Simplicité et résolubilité

Notions aux implications importantes via Galois pour la résolution par radicaux des polynômes et la résolution par quadrature des équations différentielles.

Théorèmes de Sylow, groupe dérivé, Lie-Kolchin (Chambert-Loir "a field guide to algebra" p. 98), suite de Jordan-Hölder (Delcourt "Théorie des groupes")

III) Devissage de groupes

Autrement dit comment se ramener à des groupes plus petits pour étudier les propriétés du groupe de départ.

Théorème chinois et structure des abéliens de type fini. La caractérisation du produit direct(avoir deux sous-groupes distingués H, K avec HK=G et H\cap K={e}) amène la définition du produit semi-direct et sa caractérisation (idem mais K n'est pas distingué). Ceci permet de lister les groupes d'ordre 8 ou 12 (Delcourt p.99)


Développements


Divers

Des illustrations pour les leçons de groupes