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\newtheoremstyle{theoreme}{10pt}{10pt}{\itshape}{6pt}{\bfseries}{.}{\newline}{}

\theoremstyle{theoreme}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{thm}{Théorème}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{de}{Définition}
\newtheorem*{exe}{Exemple}
\newtheorem*{cexe}{Contre-exemple}
\newtheorem*{app}{Application}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}

\newcommand{\RR}{\mathbb R}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
\newcommand{\KK}{\mathbb K}
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\MM}{\mathcal M}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm d}
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\newcommand{\fnc}[5]{\begin{align*}#1#2&\longrightarrow#3\\#4&\longmapsto#5\end{align*}}

\title{Surjectivité de l'exponentielle matricielle.}
\author{}
\date{2013 -- 2014}
\begin{document}
\maketitle
\begin{thm}
La fonction $\exp:\MM_n(\CC)\longrightarrow GL_n(\CC)$ est surjective.
\end{thm}
\begin{lemme}
Soit $G$ un groupe topologique et $H$ un sous-groupe de $G$ contenant un voisinage de $e$. Alors $H$ est ouvert et fermé, en particulier $H$ contient la composante connexe de $e$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $V$ un voisinage de $e$ dans $H$, alors pour $h\in H$, $hV$ est un voisinage de $h$ dans $H$ et donc $H$ est ouvert. On a d'autre part
\[H^c=\bigcup_{g\notin H}gH\]
donc $H^c$ est ouvert en tant qu'union d'ouverts, donc $H$ est fermé.
\end{proof}
\begin{proof}[Démonstration du théorème]
Soit $M\in\MM_n(\CC)$. Alors $\CC[M]$ est un sous-espace vectoriel de $\MM_n(\CC)$ de dimension finie donc est fermé. Or pour tout $N\in\NN$ et pour tout $X\in\CC[M]$,$\sum_{n=0}^N\frac 1{n!}X^n\in\CC[M]$, donc $\exp(X)\in\CC[M]$.\\
Par ailleurs, $\exp(X)\in GL_n(\CC)$ car d'inverse $\exp(-X)$, donc l'application \fnc{\varphi:}{\CC[M]}{\CC[M]^\times}{X}{\exp(X)} est bien définie et est un morphisme de groupes car les éléments de $\CC[M]$ commutent. En notant $H:=\text{Im}(\varphi)$, $H$ est donc un sous-groupe du groupe topologique $\CC[M]^\times$. Pour montrer que $H=\CC[M]^\times$, il suffit donc par le lemme de montrer que $H$ contient un voisinage de $I_n$ et que $\CC[M]^\times$ est connexe.

Pour montrer que $H$ contient un voisinage de $I_n$, nous allons appliquer le théorème d'inversion locale. On commence donc par montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal C^1$.
\begin{align*}
\varphi(X+H)&=\exp(X+H)\\
&=\exp(X)\exp(H)\\
&=\exp(X)(I_n+H+o(\|H\|))\\
&=\varphi(X)+\exp(X)H+o(\|H\|).
\end{align*}
Donc $\varphi$ est différentiable et $D\varphi(X)$ est la multiplication par $\exp(X)$. On a alors
\[\|D\varphi(X)-D\varphi(Y)\|=\|\exp(X)-\exp(Y)\|\]
donc $D\varphi$ est continue et $\varphi$ est donc de classe $\mathcal C^1$.

La différentielle en $0$ de $\varphi$ est l'identité donc, d'après le théorème d'inversion locale, $\varphi$ réalise un $\mathcal C^1$-difféomorphisme entre un voisinage de 0 dans $\CC[M]$ et un voisinage de $I_n$ dans $\CC[M]^\times$. $H$ contient donc un voisinage de $I_n$.

Il suffit maintenant de montrer que $\CC[M]^\times$ est connexe. Soit $A,B\in\CC[M]^\times$, alors $P(z):=\det(zA+(1-z)B)$ est un polynôme non nul donc l'ensemble $Z$ de ses racines est fini. $\CC\setminus Z$ est connexe par arcs et contient 0 et 1 donc il existe un chemin $\gamma$ reliant 0 à 1 dans $\CC\setminus Z$. Le chemin $\gamma(t)A+(1-\gamma(t))B$ relie alors $B$ à $A$ dans $\CC[M]^\times$.
\end{proof}
\begin{prop}
Soit $A\in GL_n(\RR)$, alors il existe $M\in\MM_n(\RR)$ telle que $\exp(M)=A$ si et seulement s'il existe $B\in\MM_n(\RR)$ telle que $A=B^2$.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $\exp(M)=A$, alors $\left(\exp\left(\frac M2\right)\right)^2=A$.

Soit $B\in\MM_n(\RR)$ telle que $B^2=A\in GL_n(\RR)$. Alors $B\in GL_n(\RR)$ car de déterminant non nul, donc il existe $Q\in\CC[X]$ telle que $\exp(Q(B))=B$. Or 
$B=\overline B=\exp(\overline Q(B))$, donc $A=B\times\overline B=\exp(Q(B)+\overline Q(B))$ car $Q(B)$ et $\overline Q(B)$ commutent. Or $Q+\overline Q\in\RR[X]$, d'où le résultat.
\end{proof}
\begin{exe}
$A:=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ n'a pas d'antécédent dans $\MM_2(\RR)$ par $\exp$. Supposons qu'il existe $B\in\MM_2(\RR)$ telle que $\exp(B)=A$, alors si $\lambda$ est valeur propre de $B$, $\exp\lambda$ est valeur propre de $A$ donc $\lambda=i\pi+2ik\pi$ pour $k\in\ZZ$. Donc $\lambda\neq\bar\lambda$, or $B$ est réelle donc $\bar\lambda$ est aussi valeur propre de $B$, donc $B$ est diagonalisable. On en déduit que $A$ est diagonalisable, ce qui est absurde.

On pouvait aussi donner une matrice de déterminant négatif, car $\det\exp(B)=\exp(\text{tr}(B))>0$ pour $B\in\mathcal M_n(\RR)$.
\end{exe}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{ZAV}
Maxime Zavidovique,
\emph{Un Max de Math},
Calvage \& Mounet,
2013.	
\end{thebibliography}
\end{document}