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\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\newcommand{\ima}{\operatorname{Im}}
\date{}
\title{Réduction des matrices normales}
\begin{document}
\maketitle
Ce développement se trouve dans Gourdon, \emph{Algèbre}. Il consiste en la démonstration du théorème suivant:
\begin{thm}
 Soit $u$ un endomorphisme normal d'un espace euclidien $E$. Alors, il existe une base orthonormale $\mathcal B$ telle que 
$$[u]_\mathcal B = \begin{bmatrix}\lambda_1 & & & & &\\  & \ddots &  &  & 0 & \\ & & \lambda_r & & & \\ & & &  D_1 &  & \\ & 0 &  & & \ddots & \\ & & & & & D_p       \end{bmatrix} $$
où les $\lambda_i$ sont réels et correspondent aux valeurs propres de $u$ et les $D_i$ sont des blocs $2\times 2$ correspondant à des matrices de similitudes directes (de la forme $\begin{bmatrix} a&b \\ -b & a \end{bmatrix}$).
\end{thm}
\begin{proof}
 \begin{lem}
 Soit $E$ un espace euclidien de dimension 2 et $u$ un endomorphisme normal de $E$ n'ayant pas de valeur propre réelle. Alors, dans toute base orthonormée $\mathcal B$ de $E$, la matrice de $u$ est de la forme
\begin{equation}[u]_\mathcal B = \begin{bmatrix}
                    a & b \\ -b & a
                   \end{bmatrix}. \label{forme}\end{equation}

 \end{lem}
\begin{proof}
Puisque $u$ n'a pas de valeur propre réelle, $b\neq 0$. Si $M=[u]_\mathcal B$, l'écriture de $MM^T = M^T M$ et la condition $b\neq c$ (sinon la matrice est symétrique réelle donc a une valeur propre réelle) fournit la forme demandée.
\end{proof}

\begin{lem} \begin{itemize}
 \item Soit $u \in \mathcal L(E)$. si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$, $F^\perp$ est stable par $u^\ast$.
\item Si $u$ est normal et que $E_\lambda$ est un sous-espace propre pour $u$, alors $E_\lambda^\perp$ est stable par $u$.
\end{itemize}
\end{lem}
La première assertion est claire par calcul, et la seconde utilise la commutation de $u$ et de $u^\ast$ : elle donne la stabilité de $E_\lambda$ par $u^\ast$. Le passage à l'adjoint / l'orthogonal donne le résultat.

Passons à la preuve du théorème, qu'on va mener par récurrence sur $n=\dim E$. Pour $n=1$, c'est clair. Si on suppose que le théorème est vrai pour tout $k < n$, on se place dans $E$ de dimension $n$, et on prend $u\in \mathcal L(E)$. \\
Si $u$ admet une valeur propre réelle $\lambda$, le sous-espace propre associé $E_\lambda$ a un orthogonal (qu'on note $F$) stable par $u$ (2\ieme{} lemme), et par $u^\ast$. Comme $u_F$ et $u_F^\ast$ commutent et que $F$ est de dimension $\leqslant n-1$, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence qui donne une base $\mathcal B_2$ de $F$ où $[u_F]_{B_2}$ a la forme \eqref{forme}. Si $\mathcal B_1$ est  une base quelconque de $E_\lambda$, la concaténation des deux bases convient.

Si $u$ n'admet pas de valeur propre réelle, on considère $Q=X^2-2\alpha +\beta$ un facteur irréductible de $\chi_u$, et on pose $N=\ker Q(u)$. $N\neq \{0\}$ car en écrivant $Q=(X-\lambda)(X-\overline \lambda)$, on a $\ker (u-\lambda) \neq 0$ ($\lambda$ est une valeur propre complexe), donc $N=\ker ((u-\lambda Id)(u-\overline \lambda Id)) \supset \ker (u-\lambda Id) \varsupsetneq \{0\}$.

$N$ est clairement stable pas $u$. Il l'est aussi par $u^\ast$ car $Q(u)u^\ast = u^\ast Q(u)$. On pose $v=u_N$. L'endomorphisme $v^\ast v$ est symétrique et admet donc une valeur propre réelle $\mu$. Soit $x$ un vecteur propre associé. Alors, soit $F=vect(x,u(x))$. Puisque $u$ n'a pas de valeur propre réelle, $(x,u(x))$ est uen famille libre, donc $F$ est de dimension deux. $F$ est de plus stable par $u$ car \begin{equation}u^2(x)=2\alpha u(x) - \beta x.\label{stab}\end{equation}
Montrons que $F$ est stable par $u^\ast$. D'après \eqref{stab}, puisque $\beta \neq 0$ ($Q$ est irréductible), $F=vect(u(x),u^2(x))$. Or, $u^\ast(u(x))=u(u^\ast x)=vv^\ast (x)=\mu x \in F$ et $u^\ast(u^2(x)) = u (u^\ast u(x)) = u(\mu x)=\mu u(x) \in F$, ce qu'il fallait montrer.

On peut donc parler de $u_F$. Comme $(u_F)^\ast = (u^\ast)_F$, $u_F$ est normal et, d'après le premier lemme, il existe une base $(e_1,e_2)$ orthonormale de $F$ telle que $[u]_{(e_1,e_2)} = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}$. $F$ est stable par $u$ et $u^\ast$ donc $F^\perp$ l'est par $u^\ast$ et $u^{\ast \ast}=u$, donc (unicité de l'adjoint) $(u_{F^\perp})^\ast = (u^\ast)_{F\perp}$. On peut alors appliquer l'hypothèse de récurrence à $u_{F\perp}$ qui donne une base $(e_3,\cdots,e_n)$ orthonormée telle que $u_{F\perp}$ est de la forme \eqref{forme}. La base $(e_1,\cdots,e_n)$ convient alors pour finir la preuve du théorème.
\end{proof}
Application : on dispose grâce à ce théorème de la réduction des matrices symétriques et antisymétriques réelles et des matrices orthogonales. Par ailleurs, on peut effectuer tout le raisonnement dans $\mathbb C$ : il est un peu plus simple car au moment de la récurrence, $u$ admet toujours une valeur propre complexe, et est donc ortho-diagonalisable. On peut aussi en déduire qu'une matrice anti-hermitienne est ortho-diagonalisable à valeurs propres imaginaires pures.
\end{document}