Exos classiques et autres démonstrations

Algèbre

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$. soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$.

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$.

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Pseudo-réduction simultanée

Pseudo-réduction simultanée

Pseudo-réduction simultanée

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires