Exos classiques et autres démonstrations

Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}({\mathbb {C}})$. soit $D=diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ telle que $A=Q^{{-1}}DQ$.

Soit $P$ un polynôme tel que $P(\lambda _{i})=e^{{\lambda _{i}}}$ pour tout $i$.

Alors $P(A)=P(Q^{{-1}}DQ)=Q^{{-1}}P(D)Q=Q^{{-1}}\exp(D)Q=\exp(A)$ !

Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎