Exos classiques et autres démonstrations

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Algèbre

Calcul des projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphisme

On donne ici une méthode pour calculer les projecteurs sur les sous-espaces caractéristiques d'un endomorphismes, ainsi qu'une application au calcul de l'exponentielle matricielle par la décomposition de Dunford.

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Calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable sans calculer la matrice de passage

Soit . soit telle que .

Soit un polynôme tel que pour tout .

Alors  !


Ref : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/exponentielle_de_matrices.pdf‎

Expression d'un polynôme symétrique en fonction des polynômes symétriques élémentaires

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Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique

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Méthode de Gauss pour les formes quadratiques

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Pseudo-réduction simultanée

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Racine carrée d'une matrice symétrique réelle positive

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Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est codiagonalisable

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Analyse

Ind est une fonction à valeurs entières, constante sur chaque composante connexe

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L'espace de Schwartz sur est stable par transformée de Fourier

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Lemme de Baire

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Lemme de Riemann-Lebesgue

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Limite uniforme de polynômes

Montrons que si une fonction est limite uniforme d'une suite de polynômes , alors est un polynôme.

est une suite de Cauchy donc il existe tel que pour tout . Or est un polynôme borné, donc est constant, on a . Or converge vers donc converge vers une constante . D'où est un polynôme.


Référence : Xavier Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994, p.228.

Théorème d'Ascoli

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Théorème d'inversion locale

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Théorème de Cauchy-Peano

On prouve ici le théorème de Cauchy-Peano en utilisant le théorème de point fixe de Schauder et le théorème d'Ascoli.

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Théorème de représentation de Riesz

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Théorème des fonctions implicites

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