909 -- Langages rationnels. Exemples et applications.

De AgregmathKL
Aller à : navigation, rechercher

Plans scannés


Développements


Plan de Kévin et Basile (2012)

Le Plan

I) Expressions Rationnelles

  1. Définitions
    • Par induction
    • Par récurrence et hauteur
  2. Sémantique
    • Interprétation
    • Exemples
    • Hauteur d'étoile (généralisé ... bof)
    • Langage de hauteur d'étoile
  3. Équations
    • Lemme d'ARDEN
    • Pivot de GAUSS
  4. Réduction des expressions rationnelles
    • Décidabilité de l'équivalence
    • Exemple
    • Le problème d'universalité est PSPACE-Complet (DEV)
  5. Ordre sous-mot
    • Définition, de l'ordre, des antichaînes (ensemble d'éléments incomparables deux à deux )
    • Théorème de Higman et ses corollaires ( les sous-mots et les sur-mots d'un langage sont rationnels )

II) Caractérisations

  1. Théorème de Kleene
    • Dérivées d'Antimirov et résolutions d'équations par le lemme d'Arden
  2. Lemme de l'étoile [Carton p. 54]
    • version par bloc
    • Théorème (EPR) : Caractérisation par le lemme de l'étoile par blocs appliqué au langage et à son complémentaire.
  3. Grammaire régulières
    • Caractérisation par les langages de grammaires linéaires gauches.
  4. Automate à Pile
    • Définition langage de Dyck et langage de Pile
    • Le langage de Pile d'un automate à pile est reconnaissable (DEV)
  5. Reconnaissance par monoïde
    • Définition
    • Théorème de caractérisation : reconnaissance par monoïde fini.
    • Exemple
    • Propriétés de stabilité par morphismes
  6. Théorème de Myhill-Nérode [Carton p. 45]
    • Définition résiduels
    • Exemples
    • Caractérisation par finitude du nombre de résiduels

III) Cas d'un monoïde quelconque [Carton p. 72]

  1. Définitions : Reconnaissance par monoïde fini, Rationalité...
  2. Version faible du théorème de Kleene.
    • Exemples et contre-exemples

IV) Applications

  1. Analyse Lexicale.
    • Expressions régulières
    • Exemples de commandes...
    • Application à la compilation

Développements possibles

  1. Le problème d'universalité d'un langage rationnel est PSPACE-dur
    • Le caractère PSPACE est admis pour des raisons de temps.
  2. Langage de Pile d'un Automate à Pile ( Source .tex ; .pdf)
  1. Caractérisation de la rationalité par le lemme de l'étoile par blocs (immonde)
  2. Théorème de Higman et corollaires :
    • Il n'existe pas d'antichaîne infinie pour l'ordre lexicographique sur le monoïde libre d'un alphabet fini.
    • Les surmots et sousmots pour l'ordre lexicographique d'un langage quelconque sont rationnels.
  3. (Presburger)
  4. (Séparation par automate)
    • Montré indécidable par réduction à 3-SAT

Références

Carton... "C'est mal de ne pas mettre quelque chose qui est dans le Carton, c'est mal de mettre quelque chose qui n'est pas dans le Carton." (D. Cachera)