150 -- Exemples d'actions de groupes sur des espaces de matrices.

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Plans

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Développements


Exemple de Plan

Action par translation

Définition de l'action à gauche et à droite.

1. Pivot de Gauss [GRI]

  • Matrices échelonnées obtenues par opérations élémentaires
  • Même orbite si Ker A = Ker B

2. Bruhat [X-ENS1]

  • Définition de l'action, décomposition de Bruhat, action sur les groupes de drapeaux

Equivalence

[OA]

Définition

1. Sur un corps

  • Théorème
  • Appli : équivalence sur une extension de corps, équivalence à la transposée, densité de

2. Sur un anneau euclidien

  • Réduite de Smith via l'algo
  • Théorème de structure des module de type fini

Similitude

[OA]

Définition

1. Cas général

  • Réduction de Frobenius
  • invariants de similitude de M = facteurs invariants de
  • Appli : similitude sur extension de corps, similitude à la transposée et surtout Jordan

2. Propriétés topologiques des orbites [X-ENS 2]

  • bornée, fermée, 0 dans l'adhérence

3. Restrictions

  • Brauer
  • Matrices normales (donc symétriques, hermitiennes, orthogonales, unitaires) [Gou]
  • Appli : connexité par arcs de

Congruence

[Gri]

  • Définition
  • Réduction des formes quadratiques sur R, C et un corps fini.
  • Sous-groupes compacts de [Ale]



Bibliographie

  • [OA] : Objectif Agreg
  • [Gri] : J. Grifone, Algèbre Linéaire
  • [Ale] : M. Alessandri, Thèmes de géométrie
  • [Gou] : X. Gourdon, Algèbre